Transformasi Geometri

 Materi Transformasi Geometri

1. Pengertian Transformasi Geometri

Transformasi geometri adalah perubahan posisi atau bentuk objek geometri dalam suatu bidang datar. Pada transformasi ini, objek yang awalnya ada di suatu tempat, akan dipindahkan, diputar, dicerminkan, atau diperbesar/pengecilkan sesuai dengan aturan tertentu.

Terdapat empat jenis utama transformasi geometri yang akan kita pelajari:

1. Translasi (Pergeseran)
2. Refleksi (Pencerminan)
3. Rotasi (Pemutaran)
4. Dilatasi (Perbesaran/Pengecilan)

2. Jenis-Jenis Transformasi Geometri

A. Translasi (Pergeseran)

• Definisi: Translasi adalah perpindahan setiap titik pada objek sejauh jarak tertentu ke arah tertentu tanpa merubah bentuk atau ukuran objek.
• Contoh: Bayangkan kamu memiliki sebuah segitiga, kemudian segitiga itu digeser 3 satuan ke kanan dan 2 satuan ke atas. Semua titik segitiga berpindah dengan cara yang sama.

Notasi Translasi: Jika suatu titik A(x, y) digeser sejauh a satuan ke kanan dan b satuan ke atas, maka koordinat titik baru A' adalah A'(x + a, y + b).

B. Refleksi (Pencerminan)

• Definisi: Refleksi adalah transformasi yang menghasilkan bayangan cermin dari suatu objek terhadap suatu garis cermin. Objek yang tercermin memiliki bentuk yang sama dengan objek asli, tetapi posisinya terbalik.
• Contoh: Jika kita mencerminkan titik (x, y) terhadap garis x = 0 (sumbu y), maka titik hasil cerminan adalah (-x, y).

Notasi Refleksi:

• Refleksi terhadap garis x = 0: (x, y) → (-x, y)
• Refleksi terhadap garis y = 0: (x, y) → (x, -y)
• Refleksi terhadap garis y = x: (x, y) → (y, x)

C. Rotasi (Pemutaran)

• Definisi: Rotasi adalah transformasi yang memutar objek tertentu terhadap titik pusat dengan sudut tertentu searah atau berlawanan arah jarum jam.
• Contoh: Misalkan kita memiliki sebuah segitiga, lalu kita memutar segitiga itu sejauh 90° searah jarum jam di sekitar titik O. Semua titik pada segitiga akan bergerak sepanjang lingkaran yang berpusat di O.

Notasi Rotasi:

• Rotasi sebesar 90° searah jarum jam:
  Titik (x, y) → (y, -x)
• Rotasi sebesar 90° berlawanan arah jarum jam:
  Titik (x, y) → (-y, x)

D. Dilatasi (Perbesaran atau Pengecilan)

• Definisi: Dilatasi adalah transformasi yang memperbesar atau memperkecil objek dengan menggunakan faktor skala tertentu, tetapi bentuk objek tetap sama. Dalam dilatasi, semua titik objek bergerak menjauhi atau mendekati titik pusat dilatasi.
• Contoh: Jika kita mempunyai sebuah segitiga, dan faktor skala yang dipilih adalah 2, maka ukuran segitiga akan menjadi dua kali lebih besar, namun bentuknya tetap sama.

Notasi Dilatasi:

• Jika objek memiliki titik pusat dilatasi (0, 0) dan faktor skala k, maka koordinat titik (x, y) setelah dilatasi adalah (kx, ky).

3. Perbandingan Transformasi

4. Contoh Soal

Soal 1: Translasi

Pindahkan titik A(2, 3) sejauh 4 satuan ke kanan dan 2 satuan ke atas. Tentukan koordinat titik baru A’!

Jawaban: Translasi (4, 2) berarti setiap titik akan bergerak 4 satuan ke kanan dan 2 satuan ke atas. Koordinat A’ = A(x + 4, y + 2) = (2 + 4, 3 + 2) = (6, 5).

Soal 2: Refleksi

Cerminkan titik B(4, -2) terhadap garis y = 0. Tentukan koordinat titik hasil cerminan B’!

Jawaban: Refleksi terhadap garis y = 0 mengubah tanda pada koordinat y. Koordinat B’ = (4, 2).

Soal 3: Rotasi

Putar segitiga yang memiliki titik-titik A(1, 2), B(3, 2), dan C(2, 4) sebesar 90° searah jarum jam terhadap titik O(0, 0). Tentukan koordinat titik-titik baru A’, B’, dan C’!

Jawaban: Rotasi 90° searah jarum jam mengubah titik (x, y) menjadi (y, -x).

• A’ = (2, -1)
• B’ = (2, -3)
• C’ = (4, -2)

Soal 4: Dilatasi

Dilatasi segitiga dengan faktor skala 3 terhadap titik O(0, 0). Jika titik A(2, 1), B(3, 2), dan C(1, 3), tentukan koordinat titik-titik baru A’, B’, dan C’!

Jawaban: Dilatasi dengan faktor skala 3 berarti setiap koordinat titik akan dikalikan dengan 3.

• A’ = (2 * 3, 1 * 3) = (6, 3)
• B’ = (3 * 3, 2 * 3) = (9, 6)
• C’ = (1 * 3, 3 * 3) = (3, 9)

5. Kesimpulan

• Transformasi geometri adalah perubahan posisi atau bentuk objek tanpa mengubah sifat objek tersebut.
• Jenis-jenis transformasi: translasi (geser), refleksi (cermin), rotasi (putar), dan dilatasi (perbesar/pengecil).
• Setiap transformasi memiliki aturan tertentu yang mempengaruhi posisi, ukuran, dan bentuk objek.
• Dengan mempelajari transformasi geometri, kita dapat lebih memahami hubungan antar objek dalam bidang datar dan dapat menerapkan konsep-konsep tersebut dalam berbagai konteks matematika.